Rerooting （全方位木 DP）
(tree/rerooting.hpp)

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• Last update: 2024-05-05 15:10:50+09:00
• Include: #include "tree/rerooting.hpp"
• Link: https://atcoder.jp/contests/abc222/editorial/2749
• Link: https://null-mn.hatenablog.com/entry/2020/04/14/124151

できること

• ここに記述する内容はリンク [1] で説明されていることとほぼ同等．
• 木の各頂点・各辺になんらかのデータ構造が載っている．
• 根付き木について，各頂点 $v$ を根とする部分木に対して計算される Subtree 型の情報を $X_v$ とする．また，各辺 $uv$ が持つ Edge 型の情報を $e_{uv}$ とする．
• $X_v$ は $X_v = \mathrm{add_vertex}\left(\mathrm{rake}\left(\mathrm{add_edge}(X_{c_1}, c_1, e_{v c_1}), \dots, \mathrm{add_edge}(X_{c_k}, c_k, e_{v c_k})\right), v \right)$ を満たす．ここで $c_1, \dots, c_k$ は $v$ の子の頂点たち．
  • $\mathrm{add_edge}(X_v, v, e_{uv})$ は $u$ の子 $v$ について Children 型の情報を計算する関数．
  • $\mathrm{add_vertex}(y, v)$ は Children 型の引数 $y$ をもとに頂点 $v$ における Subtree 型の情報を計算する関数．
  • $\mathrm{rake}(y_1, \dots, y_k)$ は任意個の Children 型の引数の積を計算する関数．
  • $\mathrm{rake}()$ には結合法則が成立しなければならない．また， Children 型の単位元を e() とする．
• 以上のような性質を満たすデータ構造を考えたとき，本ライブラリは森の各頂点 $r$ を根とみなしたときの連結成分に関する $X_r$ の値を全ての $r$ について線形時間で計算する．

使用方法（例）

vector<int> inD;
struct Subtree {
    bool exist;
    int oneway, round;
};
struct Children {
    bool exist;
    int oneway, round;
};
Children rake(Children x, Children y) {
    if (!x.exist) return y;
    if (!y.exist) return x;
    return Children{true, min(x.oneway + y.round, y.oneway + x.round), x.round + y.round};
}
Children add_edge(Subtree x, int, tuple<>) {
    if (!x.exist) return {false, 0, 0};
    return {true, x.oneway + 1, x.round + 2};
}
Subtree add_vertex(Children x, int v) {
    if (x.exist) return {true, x.oneway, x.round};
    return {inD[v], 0, 0};
    return {false, 0, 0};
}
Children e() { return {false, 0, 0}; }


vector<vector<pair<int, tuple<>>>> to;
rerooting<tuple<>, Subtree, Children, rake, add_edge, add_vertex, e> tree(to);
tree.run();
for (auto x : tree.dpall) cout << x.oneway << '\n';

また，メソッド get_subtree(int root, int par) によって，木を頂点 par （par が $-1$ の場合は root）を根とした根付き木として見た場合の頂点 root を根とする部分木の情報が取得できる．

int u, v;  // u-v 間に辺が存在
Subtree s1 = tree.get_subtree(u, v);

問題例

• エクサウィザーズプログラミングコンテスト2021（AtCoder Beginner Contest 222） F - Expensive Expense
• AOJ 1595: Traffic Tree
• No.1718 Random Squirrel - yukicoder
• トヨタ自動車プログラミングコンテスト2023#1(AtCoder Beginner Contest 298) Ex - Sum of Min of Length
  • get_subtree() を使用するのが楽．

リンク

1. 全方位木DP(ReRooting)の抽象化について - メモ帳
2. 解説 - エクサウィザーズプログラミングコンテスト2021（AtCoder Beginner Contest 222）
3. 競技プログラミングにおける全方位木DP問題まとめ - はまやんはまやんはまやん

Verified with

• tree/test/rerooting.aoj1595.test.cpp
• tree/test/rerooting.yuki1718.test.cpp

Code

#pragma once
#include <cassert>
#include <cstdlib>
#include <utility>
#include <vector>

// Rerooting
// Reference:
// - https://atcoder.jp/contests/abc222/editorial/2749
// - https://null-mn.hatenablog.com/entry/2020/04/14/124151
template <class Edge, class Subtree, class Children, Children (*rake)(Children, Children),
          Children (*add_edge)(Subtree, int, Edge), Subtree (*add_vertex)(Children, int),
          Children (*e)()>
struct rerooting {
    int n_;
    std::vector<int> par, visited;
    std::vector<std::vector<std::pair<int, Edge>>> to;

    // dp_subtree[i] = DP(root=i, edge (i, par[i]) is removed).
    std::vector<Subtree> dp_subtree;

    // dp_par[i] = DP(root=par[i], edge (i, par[i]) is removed). dp_par[root] is meaningless.
    std::vector<Subtree> dp_par;

    // dpall[i] = DP(root=i, all edges exist).
    std::vector<Subtree> dpall;

    rerooting(const std::vector<std::vector<std::pair<int, Edge>>> &to_)
        : n_(to_.size()), par(n_, -1), visited(n_, 0), to(to_) {
        for (int i = 0; i < n_; ++i) dp_subtree.push_back(add_vertex(e(), i));
        dp_par = dpall = dp_subtree;
    }

    void run_connected(int root) {
        if (visited.at(root)) return;
        visited.at(root) = 1;
        std::vector<int> visorder{root};

        for (int t = 0; t < int(visorder.size()); ++t) {
            int now = visorder.at(t);
            for (const auto &[nxt, _] : to[now]) {
                if (visited.at(nxt)) continue;
                visorder.push_back(nxt);
                visited.at(nxt) = 1;
                par.at(nxt) = now;
            }
        }

        for (int t = int(visorder.size()) - 1; t >= 0; --t) {
            const int now = visorder.at(t);
            Children ch = e();
            for (const auto &[nxt, edge] : to.at(now)) {
                if (nxt != par.at(now)) ch = rake(ch, add_edge(dp_subtree.at(nxt), nxt, edge));
            }
            dp_subtree.at(now) = add_vertex(ch, now);
        }

        std::vector<Children> left;
        for (int now : visorder) {
            const int m = to.at(now).size();
            left.assign(m + 1, e());
            for (int j = 0; j < m; j++) {
                const auto &[nxt, edge] = to.at(now).at(j);
                const Subtree &st = (nxt == par.at(now) ? dp_par.at(now) : dp_subtree.at(nxt));
                left.at(j + 1) = rake(left.at(j), add_edge(st, nxt, edge));
            }
            dpall.at(now) = add_vertex(left.back(), now);

            Children rprod = e();
            for (int j = m - 1; j >= 0; --j) {
                const auto &[nxt, edge] = to.at(now).at(j);

                if (nxt != par.at(now)) dp_par.at(nxt) = add_vertex(rake(left.at(j), rprod), now);

                const Subtree &st = (nxt == par.at(now) ? dp_par.at(now) : dp_subtree.at(nxt));
                rprod = rake(add_edge(st, nxt, edge), rprod);
            }
        }
    }

    void run() {
        for (int i = 0; i < n_; ++i) {
            if (!visited.at(i)) run_connected(i);
        }
    }

    const Subtree &get_subtree(int root_, int par_) const {
        if (par_ < 0) return dpall.at(root_);
        if (par.at(root_) == par_) return dp_subtree.at(root_);
        if (par.at(par_) == root_) return dp_par.at(par_);
        std::exit(1);
    }
};
/* Template:
struct Subtree {};
struct Children {};
struct Edge {};
Children e() { return Children(); }
Children rake(Children x, Children y) { return Children(); }
Children add_edge(Subtree x, int ch_id, Edge edge) { return Children(); }
Subtree add_vertex(Children x, int v_id) { return Subtree(); }

vector<vector<pair<int, Edge>>> to;
rerooting<Edge, Subtree, Children, rake, add_edge, add_vertex, e> tree(to);
*/

#line 2 "tree/rerooting.hpp"
#include <cassert>
#include <cstdlib>
#include <utility>
#include <vector>

// Rerooting
// Reference:
// - https://atcoder.jp/contests/abc222/editorial/2749
// - https://null-mn.hatenablog.com/entry/2020/04/14/124151
template <class Edge, class Subtree, class Children, Children (*rake)(Children, Children),
          Children (*add_edge)(Subtree, int, Edge), Subtree (*add_vertex)(Children, int),
          Children (*e)()>
struct rerooting {
    int n_;
    std::vector<int> par, visited;
    std::vector<std::vector<std::pair<int, Edge>>> to;

    // dp_subtree[i] = DP(root=i, edge (i, par[i]) is removed).
    std::vector<Subtree> dp_subtree;

    // dp_par[i] = DP(root=par[i], edge (i, par[i]) is removed). dp_par[root] is meaningless.
    std::vector<Subtree> dp_par;

    // dpall[i] = DP(root=i, all edges exist).
    std::vector<Subtree> dpall;

    rerooting(const std::vector<std::vector<std::pair<int, Edge>>> &to_)
        : n_(to_.size()), par(n_, -1), visited(n_, 0), to(to_) {
        for (int i = 0; i < n_; ++i) dp_subtree.push_back(add_vertex(e(), i));
        dp_par = dpall = dp_subtree;
    }

    void run_connected(int root) {
        if (visited.at(root)) return;
        visited.at(root) = 1;
        std::vector<int> visorder{root};

        for (int t = 0; t < int(visorder.size()); ++t) {
            int now = visorder.at(t);
            for (const auto &[nxt, _] : to[now]) {
                if (visited.at(nxt)) continue;
                visorder.push_back(nxt);
                visited.at(nxt) = 1;
                par.at(nxt) = now;
            }
        }

        for (int t = int(visorder.size()) - 1; t >= 0; --t) {
            const int now = visorder.at(t);
            Children ch = e();
            for (const auto &[nxt, edge] : to.at(now)) {
                if (nxt != par.at(now)) ch = rake(ch, add_edge(dp_subtree.at(nxt), nxt, edge));
            }
            dp_subtree.at(now) = add_vertex(ch, now);
        }

        std::vector<Children> left;
        for (int now : visorder) {
            const int m = to.at(now).size();
            left.assign(m + 1, e());
            for (int j = 0; j < m; j++) {
                const auto &[nxt, edge] = to.at(now).at(j);
                const Subtree &st = (nxt == par.at(now) ? dp_par.at(now) : dp_subtree.at(nxt));
                left.at(j + 1) = rake(left.at(j), add_edge(st, nxt, edge));
            }
            dpall.at(now) = add_vertex(left.back(), now);

            Children rprod = e();
            for (int j = m - 1; j >= 0; --j) {
                const auto &[nxt, edge] = to.at(now).at(j);

                if (nxt != par.at(now)) dp_par.at(nxt) = add_vertex(rake(left.at(j), rprod), now);

                const Subtree &st = (nxt == par.at(now) ? dp_par.at(now) : dp_subtree.at(nxt));
                rprod = rake(add_edge(st, nxt, edge), rprod);
            }
        }
    }

    void run() {
        for (int i = 0; i < n_; ++i) {
            if (!visited.at(i)) run_connected(i);
        }
    }

    const Subtree &get_subtree(int root_, int par_) const {
        if (par_ < 0) return dpall.at(root_);
        if (par.at(root_) == par_) return dp_subtree.at(root_);
        if (par.at(par_) == root_) return dp_par.at(par_);
        std::exit(1);
    }
};
/* Template:
struct Subtree {};
struct Children {};
struct Edge {};
Children e() { return Children(); }
Children rake(Children x, Children y) { return Children(); }
Children add_edge(Subtree x, int ch_id, Edge edge) { return Children(); }
Subtree add_vertex(Children x, int v_id) { return Subtree(); }

vector<vector<pair<int, Edge>>> to;
rerooting<Edge, Subtree, Children, rake, add_edge, add_vertex, e> tree(to);
*/

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