Lowlink （無向グラフの DFS tree, lowlink, 橋・二重辺連結成分・関節点・二重頂点連結成分）
(graph/lowlink.hpp)

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• Last update: 2022-07-19 23:53:22+09:00
• Include: #include "graph/lowlink.hpp"

$N$ 頂点 $M$ 辺の無向グラフの DFS tree, lowlink を構築し，この情報をもとに橋・二重辺連結成分・関節点・二重頂点連結成分の情報を構築する．時間計算量 $O(N + M)$．

• 橋：その辺 $e$ を消すとグラフの $e$ を含む連結成分が非連結になるような辺．
• 二重辺連結成分：任意の一辺を削除しても互いに連結であるような部分グラフ（極大頂点集合）．グラフから全ての橋を削除したものをイメージするとよい．一般にグラフの二重辺連結成分分解において，橋となる辺はどの二重辺連結成分にも属さないが，全ての頂点はちょうど一つの二重辺連結成分に属するので，本ライブラリでは各頂点に二重辺連結成分のラベルを付与することで分解を行う．
• 関節点：その頂点 $v$ を消すとグラフの $v$ に関する連結成分が非連結になるような頂点．
• 二重頂点連結成分（二重連結成分）：任意の一頂点（とそこから生える辺）を削除しても連結であるような連結部分グラフ．一般にグラフの二重頂点連結成分分解において，ある頂点が複数の二重頂点連結成分に属することがある．一方全ての辺はちょうど一つの二重頂点連結成分に属するので，本ライブラリでは各辺に二重頂点連結成分のラベルを付与することで分解を行う（biconnected_components_by_edges()）．また，頂点の重複を許容して各成分に所属する頂点集合を出力するメソッドも用意した（biconnected_components_by_vertices()）．これは孤立点を含めて列挙を行いたい場合に有用である．

使用方法

lowlink graph(V);
while (E--) {
    int s, t;
    cin >> s >> t;
    graph.add_edge(s, t);
}
vector<vector<int>> vgrpups = graph.two_edge_connected_components();
vector<vector<int>> egrpups = graph.biconnected_components_by_edges();

問題例

• Library Checker: Biconnected Components
• Library Checker: Two-Edge-Connected Components

Verified with

• graph/test/articulation_points.test.cpp
• graph/test/biconnected_components.test.cpp
• graph/test/bridge.test.cpp
• graph/test/two-edge-connected-components.test.cpp

Code

#pragma once
#include <algorithm>
#include <cassert>
#include <queue>
#include <utility>
#include <vector>

struct lowlink {
    int V; // # of vertices
    int E; // # of edges
    int k;
    std::vector<std::vector<std::pair<int, int>>> to;
    std::vector<std::pair<int, int>> edges;
    std::vector<int> root_ids; // DFS forestの構築で根になった頂点

    std::vector<int> is_bridge;       // Whether edge i is bridge or not, size = E
    std::vector<int> is_articulation; // whether vertex i is articulation point or not, size = V

    // lowlink
    std::vector<int> order;           // visiting order of DFS tree, size = V
    std::vector<int> lowlink_;        // size = V
    std::vector<int> is_dfstree_edge; // size = E

    int tecc_num;             // 二重辺連結成分数
    std::vector<int> tecc_id; // 各頂点が何個目の二重辺連結成分か

    int tvcc_num;             // 二重頂点連結成分数
    std::vector<int> tvcc_id; // 各辺が何個目の二重頂点連結成分か

    lowlink(int V)
        : V(V), E(0), k(0), to(V), is_articulation(V, 0), order(V, -1), lowlink_(V, -1),
          tecc_num(0), tvcc_num(0) {}

    void add_edge(int v1, int v2) {
        assert(v1 >= 0 and v1 < V);
        assert(v2 >= 0 and v2 < V);
        to[v1].emplace_back(v2, E);
        to[v2].emplace_back(v1, E);
        edges.emplace_back(v1, v2);
        is_bridge.push_back(0);
        is_dfstree_edge.push_back(0);
        tvcc_id.push_back(-1);
        E++;
    }

    std::vector<int> _edge_stack;
    int _root_now;

    // Build DFS tree
    // Complexity: O(V + E)
    void dfs_lowlink(int now, int prv_eid = -1) {
        if (prv_eid < 0) _root_now = k;
        if (prv_eid == -1) root_ids.push_back(now);
        order[now] = lowlink_[now] = k++;
        for (const auto &nxt : to[now]) {
            if (nxt.second == prv_eid) continue;
            if (order[nxt.first] < order[now]) _edge_stack.push_back(nxt.second);
            if (order[nxt.first] >= 0) {
                lowlink_[now] = std::min(lowlink_[now], order[nxt.first]);
            } else {
                is_dfstree_edge[nxt.second] = 1;
                dfs_lowlink(nxt.first, nxt.second);
                lowlink_[now] = std::min(lowlink_[now], lowlink_[nxt.first]);

                if ((order[now] == _root_now and order[nxt.first] != _root_now + 1) or
                    (order[now] != _root_now and lowlink_[nxt.first] >= order[now])) {
                    is_articulation[now] = 1;
                }
                if (lowlink_[nxt.first] >= order[now]) {
                    while (true) {
                        int e = _edge_stack.back();
                        tvcc_id[e] = tvcc_num;
                        _edge_stack.pop_back();
                        if (e == nxt.second) break;
                    }
                    tvcc_num++;
                }
            }
        }
    }

    void build() {
        for (int v = 0; v < V; ++v) {
            if (order[v] < 0) dfs_lowlink(v);
        }

        // Find all bridges
        // Complexity: O(V + E)
        for (int i = 0; i < E; i++) {
            int v1 = edges[i].first, v2 = edges[i].second;
            if (order[v1] > order[v2]) std::swap(v1, v2);
            is_bridge[i] = order[v1] < lowlink_[v2];
        }
    }

    // Find two-edge-connected components and classify all vertices
    // Complexity: O(V + E)
    std::vector<std::vector<int>> two_edge_connected_components() {
        build();
        tecc_num = 0;
        tecc_id.assign(V, -1);

        std::vector<int> st;
        for (int i = 0; i < V; i++) {
            if (tecc_id[i] != -1) continue;
            tecc_id[i] = tecc_num;
            st.push_back(i);
            while (!st.empty()) {
                int now = st.back();
                st.pop_back();
                for (const auto &edge : to[now]) {
                    int nxt = edge.first;
                    if (tecc_id[nxt] >= 0 or is_bridge[edge.second]) continue;
                    tecc_id[nxt] = tecc_num;
                    st.push_back(nxt);
                }
            }
            ++tecc_num;
        }
        std::vector<std::vector<int>> ret(tecc_num);
        for (int i = 0; i < V; ++i) ret[tecc_id[i]].push_back(i);
        return ret;
    }

    // Find biconnected components and enumerate vertices for each component.
    // Complexity: O(V \log V + E)
    std::vector<std::vector<int>> biconnected_components_by_vertices() {
        build();
        std::vector<std::vector<int>> ret(tvcc_num);
        for (int i = 0; i < E; ++i) {
            ret[tvcc_id[i]].push_back(edges[i].first);
            ret[tvcc_id[i]].push_back(edges[i].second);
        }

        for (auto &vec : ret) {
            std::sort(vec.begin(), vec.end());
            vec.erase(std::unique(vec.begin(), vec.end()), vec.end());
        }

        for (int i = 0; i < V; ++i) {
            if (to[i].empty()) ret.push_back({i});
        }

        return ret;
    }

    // Find biconnected components and classify all edges
    // Complexity: O(V + E)
    std::vector<std::vector<int>> biconnected_components_by_edges() {
        build();
        std::vector<std::vector<int>> ret(tvcc_num);
        for (int i = 0; i < E; ++i) ret[tvcc_id[i]].push_back(i);
        return ret;
    }
};

#line 2 "graph/lowlink.hpp"
#include <algorithm>
#include <cassert>
#include <queue>
#include <utility>
#include <vector>

struct lowlink {
    int V; // # of vertices
    int E; // # of edges
    int k;
    std::vector<std::vector<std::pair<int, int>>> to;
    std::vector<std::pair<int, int>> edges;
    std::vector<int> root_ids; // DFS forestの構築で根になった頂点

    std::vector<int> is_bridge;       // Whether edge i is bridge or not, size = E
    std::vector<int> is_articulation; // whether vertex i is articulation point or not, size = V

    // lowlink
    std::vector<int> order;           // visiting order of DFS tree, size = V
    std::vector<int> lowlink_;        // size = V
    std::vector<int> is_dfstree_edge; // size = E

    int tecc_num;             // 二重辺連結成分数
    std::vector<int> tecc_id; // 各頂点が何個目の二重辺連結成分か

    int tvcc_num;             // 二重頂点連結成分数
    std::vector<int> tvcc_id; // 各辺が何個目の二重頂点連結成分か

    lowlink(int V)
        : V(V), E(0), k(0), to(V), is_articulation(V, 0), order(V, -1), lowlink_(V, -1),
          tecc_num(0), tvcc_num(0) {}

    void add_edge(int v1, int v2) {
        assert(v1 >= 0 and v1 < V);
        assert(v2 >= 0 and v2 < V);
        to[v1].emplace_back(v2, E);
        to[v2].emplace_back(v1, E);
        edges.emplace_back(v1, v2);
        is_bridge.push_back(0);
        is_dfstree_edge.push_back(0);
        tvcc_id.push_back(-1);
        E++;
    }

    std::vector<int> _edge_stack;
    int _root_now;

    // Build DFS tree
    // Complexity: O(V + E)
    void dfs_lowlink(int now, int prv_eid = -1) {
        if (prv_eid < 0) _root_now = k;
        if (prv_eid == -1) root_ids.push_back(now);
        order[now] = lowlink_[now] = k++;
        for (const auto &nxt : to[now]) {
            if (nxt.second == prv_eid) continue;
            if (order[nxt.first] < order[now]) _edge_stack.push_back(nxt.second);
            if (order[nxt.first] >= 0) {
                lowlink_[now] = std::min(lowlink_[now], order[nxt.first]);
            } else {
                is_dfstree_edge[nxt.second] = 1;
                dfs_lowlink(nxt.first, nxt.second);
                lowlink_[now] = std::min(lowlink_[now], lowlink_[nxt.first]);

                if ((order[now] == _root_now and order[nxt.first] != _root_now + 1) or
                    (order[now] != _root_now and lowlink_[nxt.first] >= order[now])) {
                    is_articulation[now] = 1;
                }
                if (lowlink_[nxt.first] >= order[now]) {
                    while (true) {
                        int e = _edge_stack.back();
                        tvcc_id[e] = tvcc_num;
                        _edge_stack.pop_back();
                        if (e == nxt.second) break;
                    }
                    tvcc_num++;
                }
            }
        }
    }

    void build() {
        for (int v = 0; v < V; ++v) {
            if (order[v] < 0) dfs_lowlink(v);
        }

        // Find all bridges
        // Complexity: O(V + E)
        for (int i = 0; i < E; i++) {
            int v1 = edges[i].first, v2 = edges[i].second;
            if (order[v1] > order[v2]) std::swap(v1, v2);
            is_bridge[i] = order[v1] < lowlink_[v2];
        }
    }

    // Find two-edge-connected components and classify all vertices
    // Complexity: O(V + E)
    std::vector<std::vector<int>> two_edge_connected_components() {
        build();
        tecc_num = 0;
        tecc_id.assign(V, -1);

        std::vector<int> st;
        for (int i = 0; i < V; i++) {
            if (tecc_id[i] != -1) continue;
            tecc_id[i] = tecc_num;
            st.push_back(i);
            while (!st.empty()) {
                int now = st.back();
                st.pop_back();
                for (const auto &edge : to[now]) {
                    int nxt = edge.first;
                    if (tecc_id[nxt] >= 0 or is_bridge[edge.second]) continue;
                    tecc_id[nxt] = tecc_num;
                    st.push_back(nxt);
                }
            }
            ++tecc_num;
        }
        std::vector<std::vector<int>> ret(tecc_num);
        for (int i = 0; i < V; ++i) ret[tecc_id[i]].push_back(i);
        return ret;
    }

    // Find biconnected components and enumerate vertices for each component.
    // Complexity: O(V \log V + E)
    std::vector<std::vector<int>> biconnected_components_by_vertices() {
        build();
        std::vector<std::vector<int>> ret(tvcc_num);
        for (int i = 0; i < E; ++i) {
            ret[tvcc_id[i]].push_back(edges[i].first);
            ret[tvcc_id[i]].push_back(edges[i].second);
        }

        for (auto &vec : ret) {
            std::sort(vec.begin(), vec.end());
            vec.erase(std::unique(vec.begin(), vec.end()), vec.end());
        }

        for (int i = 0; i < V; ++i) {
            if (to[i].empty()) ret.push_back({i});
        }

        return ret;
    }

    // Find biconnected components and classify all edges
    // Complexity: O(V + E)
    std::vector<std::vector<int>> biconnected_components_by_edges() {
        build();
        std::vector<std::vector<int>> ret(tvcc_num);
        for (int i = 0; i < E; ++i) ret[tvcc_id[i]].push_back(i);
        return ret;
    }
};

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